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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
7.
Determine la convergencia o divergencia de las series que siguen. En caso de convergencia, decida si ésta es absoluta o condicional.
a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (n+1)}{n^{3}+1}$
a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (n+1)}{n^{3}+1}$
Respuesta
Arrancamos estudiando convergencia absoluta. Para eso le ponemos módulo al término general de la serie:
Reportar problema
$ \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{\cos (n+1)}{n^3 + 1} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\cos (n+1)|}{n^3 + 1} $
Ahora, sabemos que el módulo de $\cos(n+1)$ es siempre menor a $1$, por lo tanto, podemos plantear que:
$\frac{|\cos (n+1)|}{n^3 + 1} \leq \frac{1}{n^3 + 1}$
Y la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3 + 1} $ sabemos que se comporta igual que $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} $, que converge por ser una serie $p$ con $p > 1$.
Por lo tanto, el criterio de comparación directa nos asegura que la serie
$ \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{\cos (n+1)}{n^3 + 1} \right|$
también converge.
Por lo tanto, esto nos asegura que nuestra serie converge absolutamente.
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