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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

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7. Determine la convergencia o divergencia de las series que siguen. En caso de convergencia, decida si ésta es absoluta o condicional.
a) ∑n=1∞cos⁡(n+1)n3+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (n+1)}{n^{3}+1}

Respuesta

Arrancamos estudiando convergencia absoluta. Para eso le ponemos módulo al término general de la serie:

∑n=1∞∣cos⁡(n+1)n3+1∣=∑n=1∞∣cos⁡(n+1)∣n3+1 \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{\cos (n+1)}{n^3 + 1} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\cos (n+1)|}{n^3 + 1}

Ahora, sabemos que el módulo de cos⁡(n+1)\cos(n+1) es siempre menor a 11, por lo tanto, podemos plantear que:

∣cos⁡(n+1)∣n3+1 ≤ 1n3+1\frac{|\cos (n+1)|}{n^3 + 1} \leq \frac{1}{n^3 + 1}

Y la serie ∑n=1∞1n3+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3 + 1}  sabemos que se comporta igual que ∑n=1∞ 1n3\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} , que converge por ser una serie pp con p>1p > 1. 

Por lo tanto, el criterio de comparación directa nos asegura que la serie

∑n=1∞∣cos⁡(n+1)n3+1∣ \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{\cos (n+1)}{n^3 + 1} \right|

también converge.

Por lo tanto, esto nos asegura que nuestra serie converge absolutamente.
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Juan
3 de julio 21:01
Una consulta flor, cuando hago el criterio de comparación, podría tomar directamente 1/n^3 en lugar de 1/n^3+1 ? Gracias!
0 Responder
Flor
PROFE
4 de julio 13:12
@Juan Si, podríamos hacerlo así directamente también! :D
0 Responder